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数学建模（第4页）

h

表示综合评价指标

si

表示第i辆车经过每条道路的次数

-s

表示整个区域每条道路经过的平均次数

五

模型的建立与算法的设计

5.1

满足D1时，该区所需要配置的最少警车数目和巡逻方案

5.1.1

满足D1条件时，区域最少警车的规律

题目要求警车的配置和巡逻方案满足D1要求时，整个区域所需要配置的警车数目最少。

由假设可知警车都在道路上，且所有事发现场也都在道路上，但区域内总的道路长度是个定值的；警车在接警后赶到事发现场有时间限制和概率限制：叁分钟内赶到普通区域案发现场的比例不低于90％，而赶到重点部位的时间必须控制在两分钟之内。

由此可知每辆警车的管辖范围不会很大，于是考虑将整个区域分成假设干个分区，每辆警车管辖一个分区域。

由上面的分析，求解整个区域的警车数目最少这个问题可转化为求解每一辆警车所能管辖的街道范围尽量的大。

于是我们寻找出使每辆警车管辖的范围尽量大的规律。

为了简化问题，我们不考虑赶到现场的90%的几率的限制，仅对警车能在叁分钟内赶到事发现场的情况作定性分析，其分析示意图如图1所示。

警车的初始停靠位置是随机的分布在道路上的任一节点上，我们假设一辆警车停靠在A点上。

图1

一辆警车管辖范围分析示意图

由于警车的平均巡逻速度为20kmh，接警后的平均行驶速度为40kmh，由于距离信息比拟容易得到，于是我们将时间限制转化为距离限制，这样便于分析和求解。

当警车接警后，在叁分钟内能从接警位置赶到事发现场的最大距离是r，其中。

如图1所示，我们设警车初始停靠位置在A点，A点是道路1，2，3，4的道路交叉口。

我们仅以警车在道路1巡逻为例来进行分析，警车以的速度在道路1上A到点之间巡逻，与初始停靠点A的距离为。

由于案件有可能在道路上任一点发生，当警车巡逻到A点时，假设案发现场在道路2，3，4上发生时，警车以40kmh的速度向事发现场行驶，警车能在叁分钟内从点赶到现场的最大距离为。

如果警车在道路1上继续向前行驶，那么该警车能在叁分钟内赶到现场的距离继续缩小，当警车从初始点向A点行驶但没有到达点时，此时该警车的最大管辖范围比警车到达点时的最大管辖范围大。

为了使警车的管辖范围尽量大，警车的巡逻范围越小越好，当时，即警车在初始停靠点静止不动时，警车的管辖范围到达最大值。

图1所分析的是特殊的情况，道路1，2，3，4对称分布，现在我们来对一般的情况进行分析，如图2所示。

图2.1

图2.2

图2

一辆警车最大管辖范围分析示意图

图2.1所示的情况是道路分布不对称，与图1相比，图2.1所示的道路方向和角度都发生了改变，图2.3中的情形更为复杂。

参照对图1的分析方法，我们分析这两种情形下，警车巡逻时能在叁分钟内赶到现场的最大距离的规律，我们只分析图2.2的情况，道路1，2，3，4，5相交于点C，同时道路1与道路6也有个道路交叉口D，

由于警车巡逻时是在道路上行驶的，行走的路线是分段直线，并不影响路径的长度，所以当警车巡逻到距离初始停靠点C点远处的D，此时假设有案件发生时，该警车要在叁分钟内能赶到现场处理案件，最大行驶距离在之内，如果警车在道路1上继续向前行驶，那么该警车能在叁分钟内赶到现场的距离继续缩小，当警车没有行驶到D点时，此时该警车的最大管辖范围比大，为了使警车的管辖范围尽量大，警车的巡逻范围越小越好。

当时，即警车静止不动时，一辆警车的管辖范围能到达最大值。

以上分析的仅作定性的分析，对于叁个重点部位也可以同理分析，所得的结论是一致的，以上的分析没有考虑到90%的到达几率限制，但在设计算法需要充分考虑。

综上所述，当警车静止在初始停靠点时，在叁分钟时间限制内，警车能从初始停靠点赶到事发现场的最大距离为。

5.1.2