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数学建模（第2页）

问题的重述

110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够增加市民的平安感，同时也加快了接处警时间，提高了反响时效，为社会和谐提供了有力的保障。

现给出某城市内一区域，其道路数据和地图数据，该区域内叁个重点部位的坐标分别为：〔5112，4806〕，〔9126，

4266〕，〔7434

，1332〕。

该区域内共有307个道路交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场均在下列图的道路上。

该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。

设110警车的平均巡逻速度为20kmh，接警后的平均行驶速度为40kmh。

警车配置及巡逻方案要尽量满足以下要求：

D1.

警车在接警后叁分钟内赶到现场的比例不低于90％；而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内。

D2.

使巡逻效果更显着；

D3.

警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。

现在我们需要解决以下几个问题：

一.

假设要求满足D1，该区最少需要配置多少辆警车巡逻？

二.

请给出评价巡逻效果显着程度的有关指标。

叁．请给出满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案及其评价指标值。

四.

在第叁问的根底上，再考虑D3条件，给出你们的警车巡逻方案及其评价指标值。

五．如果该区域仅配置10辆警车，应如何制定巡逻方案，使D1、D2尽量得到满足？

六.

假设警车接警后的平均行驶速度提高到50kmh，答复下列问题叁。

七.

你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出你们相应的解决方案。

二

问题分析

此题为城区道路网络中警车配置及巡逻问题。

在进行警车配置时，首先要考虑警车在接警后在规定时间内赶到现场的比例，在此条件下，以车数最少为目标，建模、求解；在制定巡逻方案时，要考虑巡逻的效果及隐蔽性问题。

问题一只要求满足D1，求最少的警车配置数，可以认为警车是不动的，在叁分钟或两分钟内它能到达的区域就是它的覆盖范围。

据此，在满足所有街道的覆盖率不低于90%的条件下，寻找最优解。

问题二要评价巡逻效果，有两个方面需要考虑：一是巡逻的全面性，即经过一段时间后警车走过的街道数占总街道数的比例；二是巡逻的不均匀性，即经过一段时间后警车经过每一条街道的次数相差不大，用方差来衡量。

问题叁是在满足D1的条件上尽量满足问题二所给的指标，并给出评价方案的指标。

首先找到一组满足D1的各警车位置，然后在和各警车位置相连的点中随机寻找一个点，判断新的点是否满足D1，如果满足那么警车行驶到该点，否那么重新寻找，直到满足为止。

一段时间后统计所有车走过的点数及每个点被走过的次数，用问题二给出的两个指标进行评价。

综合两个指标，可判断此路径的好坏，重复这个过程，直到综合评价指标到达一个满意的值为止。

问题四增加了隐蔽性要求，首先给出评价隐蔽性的指标，隐蔽性可用路线的随机性来评价，将它参加到问题叁的模型中去进行求解。